Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. AB = 4 см, AA₁ = 2 см. Найдите угол между плоскостями AB₁C и ABC.

Искомый двугранный угол — угол между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$, ребром угла служит их линия пересечения $AC$.

Возьмём в плоскости $AB_1C$ прямую, перпендикулярную $AC$. Естественный выбор — опустить из $B_1$ перпендикуляр к $AC$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра на $AC$ (то есть $B_1H\perp AC$). Проекция точки $B_1$ на плоскость основания — это $B$ (призма прямая), а проекция отрезка $B_1H$ на плоскость $ABC$ — отрезок $BH$, причём он тоже перпендикулярен $AC$. Тогда угол между плоскостями равен углу между отрезком $B_1H$ и его проекцией $BH$.

Теперь найдём $BH$. Основание — правильный треугольник $ABC$ со стороной $AB=4$, значит его высота равна

Как раз $BH$ — это расстояние от вершины $B$ до прямой $AC$, то есть $BH=2\sqrt3$.

Вертикальная составляющая $B_1H$ равна высоте призмы $AA_1=2$. Поэтому

где $\varphi$ — угол между плоскостями.

Отсюда $\varphi=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.