Треугольник ABC равнобедренный AB=BC=20, AC=32. Найти расстояние от вершины B до
1) точки М пересечения медиан,
2) точки О пересечения биссектрис,
3) точки О пересечения серединных перпендикуляров сторон,
4) точки H пересечения высот.
С решением и рисунком пожалуйста!

Для решения задачи о нахождении расстояний от вершины B до различных точек пересечения в равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC, равными 20, и основанием AC, равным 32, начнем с построения треугольника и последующего нахождения координат необходимых точек.

Шаг 1: Построение треугольника

1. Пусть A находится в точке (0, 0).
2. Пусть C находится в точке (32, 0).
3. Для нахождения координат точки B, используем формулы окружности:
   • Расстояние AB = 20 и AC = 32, значит B находится на окружности с центром в A и радиусом 20 и на окружности с центром в C и радиусом 20.
   • Уравнение окружности с центром в A: $x^2 + y^2 = 20^2$
   • Уравнение окружности с центром в C: $(x - 32)^2 + y^2 = 20^2$

Решая эту систему уравнений, найдем координаты B.

Шаг 2: Решение уравнений

1. Раскроем второе уравнение:

   $(x - 32)^2 + y^2 = 400$

   $\Rightarrow x^2 - 64x + 1024 + y^2 = 400$

   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 64x + 624 = 0$

2. Подставим $x^2 + y^2 = 400$ из первого уравнения:

   $400 - 64x + 624 = 0$

   $\Rightarrow -64x + 1024 = 0$

   $\Rightarrow x = 16$

3. Теперь подставим $x = 16$ в уравнение $x^2 + y^2 = 400$:

   $16^2 + y^2 = 400$

   $256 + y^2 = 400$

   $\Rightarrow y^2 = 144$

   $\Rightarrow y = 12$ (берем положительное значение, так как B выше линии AC)

Таким образом, координаты точек:

• $A(0, 0)$
• $C(32, 0)$
• $B(16, 12)$

Шаг 3: Нахождение точек пересечения

1. Точка М (пересечение медиан)

   Чтобы найти координаты точки пересечения медиан (центроид), используем формулу:

   $$M = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$$

   Подставляем координаты:

   $$M = \left( \frac{0 + 16 + 32}{3}, \frac{0 + 12 + 0}{3} \right) = \left( \frac{48}{3}, \frac{12}{3} \right) = (16, 4)$$

2. Точка O (пересечение биссектрис)

   Для нахождения точки пересечения биссектрис используем формулу:

   $$O = \left( \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a + b + c}, \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a + b + c} \right)$$

   где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. В данном случае:

   • $a = 20$, $b = 32$, $c = 20$

   Подставим значения:

   $$O = \left( \frac{20 \cdot 0 + 20 \cdot 16 + 32 \cdot 32}{20 + 20 + 32}, \frac{20 \cdot 0 + 20 \cdot 12 + 32 \cdot 0}{20 + 20 + 32} \right)$$ $$O = \left( \frac{0 + 320 + 1024}{72}, \frac{0 + 240 + 0}{72} \right) = \left( \frac{1344}{72}, \frac{240}{72} \right) = (18.67, 3.33)$$