Даны точки A(-1;5;3),B(-3;7;-5) С(3;1;-5) а)Докажите,что треугольник ABC-равнобедренный. б)Найдите длину средней линии треугольника,соединяющей середины боковых сторон.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нам необходимо найти длины его сторон. Точки A, B и C заданы координатами:

• A(-1; 5; 3)
• B(-3; 7; -5)
• C(3; 1; -5)

а) Доказательство, что треугольник ABC равнобедренный

Сначала рассчитаем длины сторон AB, BC и CA с помощью формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

1. Длина AB:

   $$AB = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (7 - 5)^2 + (-5 - 3)^2}$$ $$= \sqrt{(-3 + 1)^2 + (7 - 5)^2 + (-8)^2}$$ $$= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

2. Длина BC:

   $$BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 7)^2 + (-5 - (-5))^2}$$ $$= \sqrt{(3 + 3)^2 + (1 - 7)^2 + 0^2}$$ $$= \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

3. Длина CA:

   $$CA = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2 + (-5 - 3)^2}$$ $$= \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 5)^2 + (-8)^2}$$ $$= \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$

Теперь сравним длины сторон:

• AB = $6\sqrt{2}$
• BC = $6\sqrt{2}$