В шар вписан цилиндр с площадью основания \(4\pi\) и синусом угла между образующей цилиндра и диагональю его осевого сечения, равным \(0,2\). Найдите отношение площади поверхности шара к площади основания цилиндра.

Площадь основания цилиндра равна $4\pi$, значит радиус основания $r$ находим из

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами:

• высота цилиндра $h$,

• диаметр основания $2r$.

Диагональ этого прямоугольника имеет длину

Образующая цилиндра — это вертикальная сторона прямоугольника длины $h$. Угол между этой стороной и диагональю обозначим $\alpha$. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, половиной диагонали и горизонтальной стороной $2r$, синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

По условию $\sin\alpha=0{,}2=\frac{1}{5}$. Подставляем:

Так как $r=2$, то $2r=4$ и $4r^2=16$. Получаем:

Теперь используем факт, что цилиндр вписан в шар. Центр шара совпадает с центром цилиндра, а радиус шара $R$ равен расстоянию от центра цилиндра до любой точки на верхней окружности основания. В прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $\frac{h}{2}$:

Подставляем $r^2=4$ и $h^2=384$:

Площадь поверхности шара:

Площадь основания цилиндра дана:

Искомое отношение:

Ответ: $100$.