Периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см. Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи давайте разобьем ее на несколько этапов.

1. Определим радиус основания цилиндра:
   Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого является высотой цилиндра $h$, а другая — диаметром основания $2r$. Периметр осевого сечения составляет 36 см, следовательно, его периметр равен сумме длин всех сторон прямоугольника:

   $$2h + 2r = 36$$

   Упростим это выражение:

   $$h + r = 18$$

2. Используем угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра:
   Диагональ осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна катета — это высота цилиндра $h$, а второй катет — это радиус основания цилиндра $r$. По условию задачи угол между диагональю и образующей цилиндра составляет 45°. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения связи между $h$ и $r$.

   В прямоугольном треугольнике, угол между гипотенузой и катетом $h$ равен 45°, значит, угол между гипотенузой и катетом $r$ тоже будет 45° (так как это прямоугольный треугольник). Из этого следует, что катеты равны между собой, то есть:

   $$h = r$$

3. Подставляем значение $h = r$ в уравнение $h + r = 18$:

   $$r + r = 18$$ $$2r = 18$$ $$r = 9 \, \text{см}$$

   Значит, радиус основания цилиндра $r = 9$ см, а высота цилиндра $h = 9$ см.

4. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра:
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$$

   Подставим известные значения:

   $$S_{\text{бок}} = 2 \pi \times 9 \times 9 = 2 \pi \times 81 = 162\pi \, \text{см}^2$$

   Принимая значение $\pi \approx 3.14$, получаем:

   $$S_{\text{бок}} \approx 162 \times 3.14 = 508.68 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра приблизительно равна $508.68 \, \text{см}^2$.