Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синусов острых углов равна 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при $C$. Тогда острые углы — это $\angle A$ и $\angle B$, и они дополняют друг друга до $90^\circ$:

Нужно доказать, что

Доказательство через соотношение дополнительных углов

Так как $\angle B = 90^\circ - \angle A$, то по формуле для синуса дополнительного угла:

Тогда

Подставим это в требуемую сумму:

Но для любого угла справедливо основное тригонометрическое тождество:

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

(Тот же факт можно увидеть и “геометрически”)

Пусть $AC$ и $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза. Тогда

Значит,

По теореме Пифагора $AC^2+BC^2=AB^2$, значит