Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них. Через эти точки проведены две параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках P1 и Q1. Чему равна длина отрезка P1Q1, если PQ = 6,3? Ответ поясните.

Рассмотрим две параллельные прямые $l$ и $m$. Точки $P$ и $Q$ лежат на прямой $l$, причём $PQ = 6{,}3$. Через точки $P$ и $Q$ проведены две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$: пусть $\alpha$ проходит через $P$, а $\beta$ — через $Q$. Эти плоскости пересекают вторую прямую $m$ в точках $P_1$ и $Q_1$ соответственно.

Ключевой факт: параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки (в смысле: расстояние между плоскостями, измеренное вдоль любого направления, одинаково; а вдоль двух параллельных прямых получается одинаковый “шаг”).

Объяснение через векторный сдвиг (самое наглядное в пространстве):

1. Так как прямые $l$ и $m$ параллельны, существует параллельный перенос (сдвиг) на некоторый вектор $\vec v$, который переводит прямую $l$ в прямую $m$. При этом точка $P$ переходит в некоторую точку на $m$, и точка $Q$ тоже переходит на $m$, причём расстояния между точками сохраняются.

2. Плоскость $\alpha$, проходящая через $P$, при таком переносе перейдёт в плоскость $\alpha'$, параллельную $\alpha$, и проходящую через образ точки $P$ на прямой $m$. Но у нас на прямой $m$ ровно одна точка пересечения с плоскостью $\alpha$ — это $P_1$. Значит, “соответствующая” точка на $m$, получающаяся из $P$, совпадает с $P_1$. Аналогично, $Q$ переходит в $Q_1$.

3. Параллельный перенос сохраняет длины, поэтому

Следовательно,

Ответ: $P_1Q_1 = 6{,}3$.