В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C проведена биссектриса EF, причём FC = 13 см. Найдите растояние от точки F до прямой DE.

Чтобы найти расстояние от точки $F$ до прямой $DE$ в данном прямоугольном треугольнике $\triangle DCE$, воспользуемся следующими рассуждениями и теоремами.

1. Анализ треугольника и биссектрисы

Биссектриса $EF$, проведённая из угла $\angle DCE$, делит угол пополам. Точка $F$ лежит на стороне $DE$, а $FC = 13 \, \text{см}$. Для удобства введём обозначения:

• $C$ — вершина прямого угла.
• $DE$ — гипотенуза.
• $F$ — точка пересечения биссектрисы с гипотенузой $DE$.

2. Свойство биссектрисы в треугольнике

Согласно теореме о биссектрисе, биссектриса делит противоположную сторону (в данном случае $DE$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:

Обозначим:

• $DC = a$,
• $CE = b$,
• $DF = x$,
• $FE = y$.

Тогда из свойства биссектрисы:

Также известно, что:

где $DE$ — длина гипотенузы.

3. Координаты точки $F$

Пусть треугольник $\triangle DCE$ лежит в декартовой системе координат:

• $C(0, 0)$,
• $D(a, 0)$,
• $E(0, b)$.

Точка $F$ делит гипотенузу $DE$ в отношении $a : b$. Используя формулы деления отрезка в данном отношении, координаты точки $F(x_F, y_F)$ будут:

4. Расстояние от точки $F$ до прямой $DE$

Прямая $DE$ проходит через точки $D(a, 0)$ и $E(0, b)$. Уравнение этой прямой:

Расстояние от точки $F(x_F, y_F)$ до прямой $DE$ вычисляется по формуле:

Подставим координаты $F(x_F, y_F)$:

Упростим числитель:

Следовательно: