Что такое апофема многоугольника?

Апофема многоугольника — это отрезок, который проводят от центра правильного многоугольника к одной из его сторон перпендикулярно (под прямым углом). Конец апофемы лежит на стороне, обычно — в её середине.

Иначе говоря, апофема правильного многоугольника — это расстояние от центра до стороны. По смыслу она совпадает с тем, что в правильных многоугольниках называют вписанным радиусом (радиусом окружности, вписанной в многоугольник): такая окружность касается всех сторон, а апофема как раз идет от центра до точки касания.

Где апофема “живёт” и почему только в правильном многоугольнике

• Правильный многоугольник — это такой, у которого все стороны и все углы равны.

• У правильного многоугольника есть центр (общая точка симметрии), и от него до каждой стороны расстояние одно и то же.

• Поэтому апофема в правильном многоугольнике определена однозначно и имеет одинаковую длину для всех сторон.

Для неправильного многоугольника (где стороны/углы разные) единой “апофемы” обычно не выделяют, потому что расстояния от какого-то “центра” до сторон будут разными (да и сам “центр” в таком же смысле может отсутствовать).

Как апофема связана с другими элементами

В правильном многоугольнике обычно используют три величины:

• R — радиус описанной окружности (от центра до вершины),

• r — радиус вписанной окружности (от центра до стороны),

• a — сторона.

Здесь апофема = r.

Апофема часто используется в формулах площади.

Площадь через апофему

Для правильного многоугольника площадь можно находить так:

S = (P · r) / 2,
где S — площадь, P — периметр, r — апофема.

Почему это работает: правильный многоугольник можно разбить на равные треугольники, у каждого основание — сторона, а высота — апофема.

Простой пример

У правильного треугольника апофема — это отрезок от центра (он же центр вписанной окружности) до любой стороны под прямым углом.
У квадрата апофема равна половине стороны: центр квадрата находится посередине, а расстояние от центра до любой стороны — это половина длины стороны.

Итого: апофема — это перпендикуляр от центра правильного многоугольника к его стороне (расстояние от центра до стороны), равная радиусу вписанной окружности.