Сформулировать свойства прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен $90^\circ$. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол, — катетами.

Ниже — основные свойства прямоугольного треугольника.

1) Свойства углов

1. Один угол равен $90^\circ$.

2. Два других угла — острые и в сумме дают $90^\circ$:
   $\alpha + \beta = 90^\circ$.

3. Следствие: если один острый угол равен, например, $30^\circ$, то другой обязательно $60^\circ$.

2) Соотношения сторон (теорема Пифагора и следствия)

1. Теорема Пифагора: если катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$, то

   $$a^2 + b^2 = c^2.$$

2. Обратная теорема Пифагора: если для трёх сторон выполняется
   $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный (угол напротив $c$ — $90^\circ$).

3. Гипотенуза — самая длинная сторона: $c>a$, $c>b$.

3) Свойства, связанные с описанной окружностью и серединой гипотенузы

1. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

   $$R=\frac{c}{2}.$$

3. Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

   $$m_c=\frac{c}{2}.$$

   И точка середины гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин.

4) Высота к гипотенузе и «проекции» катетов

Пусть из вершины прямого угла опущена высота $h$ на гипотенузу $c$. Она делит гипотенузу на отрезки $p$ и $q$ (проекции катетов на гипотенузу), причём $p+q=c$. Тогда верны соотношения:

1. Высота — среднее геометрическое проекций:

   $$h^2=pq.$$

2. Катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции:

   $$a^2=cp,\qquad b^2=cq.$$

3. Получаются три подобные треугольника: исходный и два, на которые он разбит высотой к гипотенузе.

5) Тригонометрические соотношения для острого угла

Для острого угла $\alpha$ (напротив катета $a$, рядом катет $b$):

Аналогично для второго острого угла $\beta$, при этом:

6) Площадь прямоугольного треугольника

1. Через катеты:

2. Через гипотенузу и высоту к ней:

7) Частные (часто используемые) случаи

1. Если один острый угол $30^\circ$, то катет напротив него равен половине гипотенузы:

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ($45^\circ$–$45^\circ$–$90^\circ$):

Это основные свойства прямоугольного треугольника: особенности углов, связи сторон (Пифагор), свойства медианы и окружности, формулы высоты к гипотенузе и проекций, тригонометрия и формулы площади.