В треугольнике МНК, МН = НК, МК = √2, угол М = 30 градусов, МА — биссектриса. Найдите МА.

В треугольнике МНК, где МН = НК, а МК = √2, угол М = 30 градусов, и МА является биссектрисой, нужно найти длину МА.

1. Треугольник МНК — равнобедренный:
   Учитывая, что МН = НК, треугольник МНК является равнобедренным, а значит, углы при основании М и К равны. Поскольку угол М равен 30 градусам, угол К тоже будет равен 30 градусам. Таким образом, угол Н в треугольнике МНК равен:

   $$\angle Н = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

2. Используем теорему о биссектрисе:
   МА — биссектрисой угла М, что означает, что она делит угол М пополам. Следовательно, угол между МА и КА будет равен 15 градусам.

3. Используем закон косинусов:
   Чтобы найти длину МА, применим теорему о косинусах для треугольника МАK. Зная, что МК = √2, угол М = 30°, можно найти сторону МА, используя формулу для стороны биссектрисы в равнобедренном треугольнике:

   Длина биссектрисы для равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:

   $$\text{МА} = \sqrt{ \frac{2 \cdot МК^2 \cdot (1 - \cos(\angle М))}{1}}$$

   Подставляем значения:

   $$\text{МА} = \sqrt{2 \cdot \left( \sqrt{2}^2 \cdot (1 - \cos 30^\circ ) \right)}$$ $$\text{МА} = \sqrt{ 2 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2})}$$