В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD, при этом хорда АВ

разделилась пополам, а хорда CD длиной 15 см разделилась на отрезки в отношении 1:4

Найдите длину хорды АВ.

Для решения задачи используем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Обозначим точки пересечения хорд AB и CD через O. Пусть хорда AB разделилась пополам, значит, AO = OB, и обозначим длину одного из этих отрезков через $x$. То есть вся длина хорды AB равна $2x$.

Хорда CD длиной 15 см разделилась на отрезки в отношении 1:4. Пусть один из отрезков равен $y$, тогда другой будет равен $4y$. Из условия задачи известно, что сумма этих отрезков равна длине хорды CD:
$y + 4y = 15$
$5y = 15$
$y = 3$

Значит, один отрезок хорды CD равен 3 см, а другой — 12 см.

Теперь применим теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, которая гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$

Подставляем известные значения: $x \cdot x = 3 \cdot 12$ $x^2 = 36$ $x = 6$

Таким образом, длина хорды AB равна $2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: длина хорды AB равна 12 см.