Угол параллелограмма равен 60°, разность сторон равна 4 см, а большая диагональ равна 14 см.

Ответы на вопрос

Отвечает Хомяк Богдан.

Давай разберём задачу шаг за шагом. У нас есть параллелограмм с углом $60^\circ$ , разностью сторон $4$ см и большей диагональю $14$ см. Нужно найти меньшую диагональ и площадь параллелограмма.

1. Обозначения

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$ , где $a > b$ .
Угол между сторонами обозначим $\alpha = 60^\circ$ .
Дано:

a - b = 4, \quad \text{большая диагональ } d_1 = 14

Диагонали параллелограмма выражаются формулами:

d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha

d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha

где $d_1$ — большая диагональ, $d_2$ — меньшая диагональ.

Так как угол $60^\circ$ , то $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Подставим в формулу для большей диагонали:

d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 + ab

14^2 = a^2 + b^2 + ab

196 = a^2 + ab + b^2 \quad (1)

Также известно, что $a = b + 4$ . Подставим $a = b + 4$ в уравнение (1):

(b + 4)^2 + (b + 4)b + b^2 = 196

Раскроем скобки:

b^2 + 8b + 16 + b^2 + 4b + b^2 = 196

3b^2 + 12b + 16 = 196

3b^2 + 12b - 180 = 0

Разделим всё на 3:

b^2 + 4b - 60 = 0

2. Решим квадратное уравнение

b = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 \pm 16}{2}

Берём положительный корень, так как сторона не может быть отрицательной:

b = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}

Тогда $a = b + 4 = 10 \text{ см}$ .

3. Найдём меньшую диагональ

Формула для меньшей диагонали:

d_2^2 = a^2 + b^2 - ab

d_2^2 = 10^2 + 6^2 - 10 \cdot 6 = 100 + 36 - 60 = 76

d_2 = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.72 \text{ см}

Угол параллелограмма равен 60°, разность сторон равна 4 см, а большая диагональ равна 14 см. Найдите меньшую диагональ и площадь параллелограмма.

Ответы на вопрос

1. Обозначения

2. Решим квадратное уравнение

3. Найдём меньшую диагональ

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия