В прямоугольном треугольнике ACB (угол C = 90 градусов) проведена высота CD. Гипотенуза AB равна 10 см, угол CBA = 30 градусов. Найдите BD.

Давай разберёмся шаг за шагом, как найти отрезок $BD$ в этом прямоугольном треугольнике $ACB$.

Дано:

• $\triangle ACB$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$

• Гипотенуза $AB = 10$ см

• $\angle CBA = 30^\circ$

• Нужно найти $BD$, где $D$ — основание высоты из $C$ на $AB$.

Шаг 1: Найдём катеты треугольника

В прямоугольном треугольнике известно, что соотношение сторон через синус и косинус угла:

• $\angle CBA = 30^\circ$

• Пусть $BC$ — противолежащий угол CBA (т.е. напротив 30°), а $AC$ — прилежащий к углу CBA.

По определению тригонометрических функций:

Подставляем числа:

Шаг 2: Связь через высоту на гипотенузу

В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$ делит гипотенузу на два отрезка $AD$ и $DB$, причём выполняется формула:

Также известны соотношения через катеты:

Эта формула удобна, потому что $CD$ нам не нужен напрямую.

Шаг 3: Найдём $BD$

Используем формулу:

Подставляем значения:

✅ Ответ

Если нужно, можно дополнительно проверить через $AD = AC^2 / AB = (5\sqrt{3})^2 / 10 = 75 / 10 = 7.5$ см, и действительно $AD + BD = 7.5 + 2.5 = 10 = AB$, всё сходится.