Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершин при основании, при пересечении образуют угол в 140°. Найдите угол, противолежащий основанию. а)70° б)100° в)40° г)50°

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом, чтобы было понятно, как получить ответ.

Дано: равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Из вершин $B$ и $C$ проведены высоты к противоположным сторонам. Эти высоты пересекаются под углом $140^\circ$. Нужно найти угол при вершине $A$, то есть угол, противолежащий основанию $BC$.

Решение:

1. Обозначения:
   Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $BC$. Тогда вершины $B$ и $C$ равны по длине к вершине $A$, а угол при вершине $A$ — это $\alpha$, который мы ищем.

2. Свойство высот в равнобедренном треугольнике:
   Высоты из $B$ и $C$ пересекаются в точке $H$ (ортогональном центре), и угол между ними связан с углом при вершине $A$. Для равнобедренного треугольника с основанием $BC$ есть известная зависимость: если высоты из $B$ и $C$ пересекаются под углом $\theta$, то угол при вершине $A$ вычисляется по формуле:

3. Подставим данные:
   Угол между высотами: $\theta = 140^\circ$.
   Тогда угол при вершине $A$ равен:

4. Проверка:
   Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. Угол при основании $B$ и $C$ равны, значит каждый равен:

Всё верно: $110 + 35 + 35 = 180^\circ$.

Однако в вариантах ответа нет 110°. Нужно перепроверить формулу.

5. Более точный подход через координаты:
   Пусть треугольник симметричный, основание на оси $x$, вершина $A$ на оси $y$.

• Высоты из $B$ и $C$ можно записать, и через наклон их прямых угол пересечения равен $180^\circ - \alpha$.

• Таким образом, угол при вершине $A$ $\alpha = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

✅ Это совпадает с вариантом в) 40°.

Ответ:
в) 40°