1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 60° больше другого. 2. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите углы треугольника. 3. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

1. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 60° больше другого.

В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°. Остальные два угла — острые, и их сумма равна 90° (так как сумма всех углов треугольника всегда 180°). Пусть один из острых углов равен $x$, а другой угол на 60° больше, то есть $x + 60°$. Тогда можно записать уравнение:

Упрощаем:

Таким образом, один из острых углов равен 15°, а другой угол, на 60° больше, равен:

Ответ: острые углы треугольника — 15° и 75°.

2. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите углы треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим эти углы через $\alpha$, а угол при вершине — через $\beta$. Из условия задачи нам дан внешний угол при основании, который равен 140°. Внешний угол равнобедренного треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть:

Также в любом треугольнике сумма всех углов равна 180°, и в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Таким образом:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $\alpha + \beta = 140°$

2. $2\alpha + \beta = 180°$

Вычтем первое уравнение из второго:

Подставим $\alpha = 40°$ в первое уравнение:

Ответ: углы треугольника: два угла при основании — 40°, угол при вершине — 100°.

3. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$, и основание $BC$. Пусть внешний угол при вершине $A$, который образует продолжение стороны $AB$ с основанием $BC$, равен $\alpha$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ обозначим через $AD$, где точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$.

Мы знаем, что биссектриса внешнего угла делит его пополам. Таким образом, угол $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и угол $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, то есть $\angle ABC = \angle ACB = \beta$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ADC$, который является внутренним углом на прямой $BC$. Поскольку $\angle ADC$ и угол $\alpha$ — смежные углы, то:

Так как $\angle ADC$ — это угол между прямой $BC$ и биссектрисой $AD$, то угол $\angle ADC$ и угол $\angle DAB$ (между биссектрисой и основанием) должны быть равны. Таким образом, $\angle DAB = \angle ADC$, что значит, что биссектриса $AD$ параллельна основанию $BC$.

Ответ: биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.