Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, если извесно, что его диагонали лежат на осях координат.

Чтобы найти уравнение окружности, вписанной в ромб, у которого диагонали лежат на осях координат и имеют длины 8 и 10, давайте разберемся с геометрическими характеристиками данной фигуры.

Шаг 1: Положение ромба и его центр

1. Поскольку диагонали ромба лежат на осях координат, их пересечение (центр ромба) будет находиться в точке $(0, 0)$, то есть в начале координат.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Шаг 2: Найдём стороны ромба

1. Половины диагоналей составляют прямоугольный треугольник, где каждая половина диагонали является катетом.
2. Длина одной диагонали равна 8, значит её половина равна $4$.
3. Другая диагональ равна 10, поэтому её половина составляет $5$.
4. Найдём сторону ромба $a$ по теореме Пифагора: $$a = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Шаг 3: Радиус вписанной окружности

Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, можно найти по формуле:

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

Подставим значения:

Теперь упростим выражение: