Площадь треугольника ABC равна 12 см². Медианы AE и CD пересекаются в точке O. Угол AOC равен 150°, AE = 3 см. Найдите CD.

Точка $O$ — точка пересечения медиан, то есть центр тяжести треугольника. Она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Так как $AE=3$ см, то

Треугольники $AOC$ и $ABC$ имеют общее основание $AC$. Расстояние от центра тяжести $O$ до прямой $AC$ в три раза меньше высоты, проведённой из вершины $B$. Поэтому

Выразим площадь треугольника $AOC$ через две стороны и угол между ними:

Подставим известные значения:

Поскольку

получаем

На медиане $CD$ центр тяжести также делит её в отношении $2:1$, поэтому

Следовательно,