Найти радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, если радиус круга, вписанного в этот треугольник, равняется 3 см, а катет равняется 10 см.

Обозначим второй катет через $x$, а гипотенузу через $c$.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

По условию $r=3$ см, один катет равен $10$ см. Поэтому:

Умножим на 2:

откуда

Теперь применим теорему Пифагора:

Подставим $c=x+4$:

Раскроем скобки:

Сократим $x^2$:

Тогда гипотенуза равна:

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

Ответ: $7{,}25$ см.