Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB=5 см, BC=13 см, CD=9 см, DA=15 см, AC=12 см.

Для нахождения площади четырёхугольника ABCD, где даны длины его сторон AB = 5 см, BC = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, а также диагональ AC = 12 см, можно воспользоваться формулой Герона для двух треугольников, на которые разбивается четырёхугольник диагональю AC.

1. Разбиваем четырёхугольник на два треугольника: ABC и ACD.

2. Рассчитаем площадь треугольника ABC. Для этого используем формулу Герона:

   • Полупериметр треугольника $p_1 = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 13 + 12}{2} = 15$ см.

   • Площадь треугольника ABC:

   $$S_1 = \sqrt{p_1 (p_1 - AB) (p_1 - BC) (p_1 - AC)} = \sqrt{15(15 - 5)(15 - 13)(15 - 12)} = \sqrt{15 \times 10 \times 2 \times 3} = \sqrt{900} = 30 \, \text{см}^2.$$

3. Рассчитаем площадь треугольника ACD. Полупериметр треугольника $p_2 = \frac{DA + CD + AC}{2} = \frac{15 + 9 + 12}{2} = 18$ см.

   • Площадь треугольника ACD:

   $$S_2 = \sqrt{p_2 (p_2 - DA) (p_2 - CD) (p_2 - AC)} = \sqrt{18(18 - 15)(18 - 9)(18 - 12)} = \sqrt{18 \times 3 \times 9 \times 6} = \sqrt{2916} = 54 \, \text{см}^2.$$

4. Теперь, чтобы найти площадь четырёхугольника ABCD, складываем площади двух треугольников:

   $$S = S_1 + S_2 = 30 + 54 = 84 \, \text{см}^2.$$

Ответ: площадь четырёхугольника ABCD равна 84 см².