В равнобедренной трапеции с основаниями А и В (А > B) диагонали являются биссектрисами углов при большем основании. Найдите высоту трапеции.

Разберу через координаты: так условие «диагональ — биссектриса угла при большем основании» превращается в одно короткое соотношение между боковой стороной, основаниями и высотой.

Пусть большее основание трапеции равно $A$, меньшее — $B$, где $A>B$. Обозначим высоту через $h$.

Расположим равнобедренную трапецию симметрично:

• нижнее основание длины $A$;

• верхнее основание длины $B$;

• высота $h$.

Тогда горизонтальный сдвиг боковой стороны равен половине разности оснований:

Обозначим длину боковой стороны через $l$. Тогда по теореме Пифагора:

Теперь используем условие задачи: диагональ является биссектрисой угла при большем основании.

Рассмотрим угол при левом конце большего основания. Диагональ из этой вершины делит этот угол пополам. Из геометрии направления биссектрисы получается, что в данной конфигурации боковая сторона должна быть равна меньшему основанию:

Тогда подставляем это в формулу для боковой стороны:

Отсюда

Значит,

Или, приведя к более компактному виду:

Раскроем выражение под корнем:

Также это можно разложить:

Итак, высота равна

При этом для существования недегenerateной трапеции нужно, чтобы выражение под корнем было положительным, то есть

или

Ответ: