2. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=корень из 21 , SB =корень из 85 , SD =корень из 57 . а) Докажите, что SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Пусть в основании пирамиды лежит прямоугольник $ABCD$, где

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то

а стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны.

Даны боковые рёбра:

а) Докажем, что $SA$ — высота пирамиды

Рассмотрим треугольник $SAB$.

Имеем:

Тогда

Значит, по обратной теореме Пифагора треугольник $SAB$ прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине $A$. Следовательно,

Теперь рассмотрим треугольник $SAD$.

Получаем:

Значит, треугольник $SAD$ тоже прямоугольный, и

Прямые $AB$ и $AD$ лежат в плоскости основания $ABCD$ и пересекаются в точке $A$. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Следовательно,

Значит, $SA$ является высотой пирамиды.

б) Найдём угол между прямыми $SC$ и $BD$

Так как $SA$ — высота, удобно ввести координаты.

Пусть

Так как

и $SA\perp (ABCD)$, то можно взять

Найдём направляющие векторы прямых $SC$ и $BD$.

Для прямой $SC$:

Для прямой $BD$:

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

Вычислим скалярное произведение: