1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине на 48° больше угла при основании. 2. В треугольнике АВС угол А=75 градусов, угол В=30 градусов. а) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный и укажите его основание. б) CD – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АСВ.

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине на 48° больше угла при основании.

Пусть угол при основании равен $x$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, значит второй угол при основании тоже равен $x$.

Угол при вершине на $48^\circ$ больше угла при основании, значит он равен:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

Значит, углы при основании равны по $44^\circ$, а угол при вершине:

Ответ: $44^\circ,\ 44^\circ,\ 92^\circ$.

2. В треугольнике $ABC$ угол $A = 75^\circ$, угол $B = 30^\circ$.

Сначала найдём угол $C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

Получили:

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и укажите его основание.

Так как в треугольнике $ABC$

то стороны, лежащие напротив этих углов, равны.

Напротив угла $A$ лежит сторона $BC$, а напротив угла $C$ лежит сторона $AB$. Значит:

Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный.

Равные стороны — $AB$ и $BC$, поэтому основанием является сторона:

Ответ: треугольник $ABC$ равнобедренный, его основание — $AC$.

б) $CD$ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол $ACB$.

Так как $CD$ — высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$, то:

Значит:

Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём:

потому что точка $D$ лежит на стороне $AB$, а угол между $AC$ и $AB$ равен $75^\circ$.

Тогда:

Весь угол $ACB$ равен $75^\circ$. Высота $CD$ делит его на два угла:

и

Ответ: высота $CD$ делит угол $ACB$ на углы $15^\circ$ и $60^\circ$.