Площадь каких треугольников можно вычислить по формуле: p⋅r?

Формула $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности, применима ко всем треугольникам, у которых существует вписанная окружность. На самом деле, у любого треугольника можно провести вписанную окружность, так что эта формула универсальна для любого треугольника.

Вот как это работает более подробно:

1. Определения:

   • Полупериметр треугольника $ABC$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$, где $a, b, c$ — длины сторон.

   • Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника изнутри. Радиус этой окружности обозначается $r$.

2. Вывод формулы:
   Площадь треугольника через радиус вписанной окружности можно получить так: площадь равна сумме площадей трёх маленьких треугольников, образованных вершинами треугольника и центром вписанной окружности. Каждая такая площадь равна половине произведения стороны на радиус $r$. Складывая их:

   $$S = \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{c \cdot r}{2} = \frac{r(a+b+c)}{2} = p \cdot r$$

3. Вывод:
   Поскольку любой треугольник имеет вписанную окружность, формула $S = p \cdot r$ подходит для всех треугольников, не важно, остроугольный, тупоугольный или прямоугольный.

Таким образом, формула $p \cdot r$ — это универсальный способ вычисления площади для любого треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности.