Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Давай разберём задачу шаг за шагом, чтобы найти площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Дано:

• Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, где $AB$ — верхнее основание, $CD$ — нижнее.

• Средняя линия $m = 5$ см.

• Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Шаг 1. Связь средней линии с основаниями
Средняя линия трапеции — это полусумма оснований:

Значит:

Шаг 2. Геометрия трапеции с перпендикулярными диагоналями
Пусть $AB = a$, $CD = b$. Тогда по (1):

Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует известная формула:

где $h$ — высота трапеции. Действительно, если диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой и половинами оснований:

Шаг 3. Найти площадь трапеции через среднюю линию
Площадь трапеции выражается через основания и высоту:

То есть, нам нужно найти $h$.

Шаг 4. Выражение через $AB$ и $CD$
Обозначим $AB = x$, тогда $CD = 10 - x$.
Высота:

Площадь:

Шаг 5. Максимальная площадь
Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь достигает максимума, когда трапеция симметрична относительно средней линии, то есть $AB = CD$.

Если $AB = CD = 5$ см:

Тогда площадь:

Ответ:

Эта задача решается аккуратно через свойства равнобедренной трапеции и перпендикулярные диагонали: основное условие $h^2 = AB \cdot CD$ позволяет напрямую получить площадь.