Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 6.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$ ($a>b$), высота $h$, средняя линия $m=\dfrac{a+b}{2}=6\Rightarrow a+b=12$.

Расположим трапецию так, чтобы основания были горизонтальны и симметричны относительно оси $y$:

• нижнее основание от $(-a/2,0)$ до $(a/2,0)$,

• верхнее — от $(-b/2,h)$ до $(b/2,h)$.

Диагонали — это отрезки $(-a/2,0)\to (b/2,h)$ и $(a/2,0)\to (-b/2,h)$. Их угловые коэффициенты:

Перпендикулярность диагоналей означает $k_1\cdot k_2=-1$:

Но $\dfrac{a+b}{2}=m=6$, значит $h=6$.

Площадь трапеции $S$ равна произведению средней линии на высоту:

Ответ: $36$.