Каждое ребро правильного тетраэдра равно 6. Найти объемы тетраэдра и вписанного в него конуса.

Ребро правильного тетраэдра равно $a=6$.

1. Объем правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра со стороной $a$ находится по формуле:

Подставим $a=6$:

Значит,

2. Объем вписанного конуса

Под вписанным в правильный тетраэдр конусом обычно понимают конус, вершина которого совпадает с вершиной тетраэдра, а основание — круг, вписанный в противоположную грань тетраэдра.

Основание тетраэдра — равносторонний треугольник со стороной $6$. Радиус вписанной в него окружности равен:

Высота конуса равна высоте правильного тетраэдра:

Объем конуса:

Подставим $r=\sqrt3$, $h=2\sqrt6$:

Значит,

Ответ: