Из точки не лежащей в плоскости, приведены перпендикуляр и наклонная угол между которыми 60° найти длины и перпендикуляр и проекций, если длина наклонной равна 8 см.​

Давайте разберёмся с решением задачи, используя основы геометрии.

1. Обозначим основные элементы:

   • Пусть точка, не лежащая в плоскости, — это точка $A$.
   • Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью — точка $O$.
   • Наклонная — это отрезок $AO$, который не перпендикулярен плоскости.
   • Обозначим длину наклонной $AO$ как $8$ см.
   • Угол между перпендикуляром и наклонной равен $60^\circ$.

2. Найдем длину перпендикуляра: Перпендикуляр — это отрезок $OH$, опущенный из точки $A$ на плоскость. Этот отрезок образует угол в $60^\circ$ с наклонной $AO$.

   Вспомним, что в прямоугольном треугольнике $AOH$ гипотенуза (наклонная) $AO$, катет $OH$ и угол $\angle AOH = 60^\circ$ связаны следующим соотношением:

   $$\cos 60^\circ = \frac{OH}{AO}$$

   Подставим известные значения:

   $$\cos 60^\circ = \frac{OH}{8}$$

   Поскольку $\cos 60^\circ = 0{,}5$, то:

   $$0{,}5 = \frac{OH}{8}$$

   Отсюда длина перпендикуляра $OH$:

   $$OH = 8 \cdot 0{,}5 = 4 \text{ см}$$

3. Найдем длину проекции наклонной на плоскость: Проекция наклонной $AO$ на плоскость — это отрезок $OP$, который соединяет точку $O$ с основанием перпендикуляра. В прямоугольном треугольнике $AOH$ проекция наклонной $OP$ является вторым катетом и связана с наклонной $AO$ и углом $\angle AOH = 60^\circ$ следующим образом:

   $$\sin 60^\circ = \frac{OP}{AO}$$

   Подставим значения:

   $$\sin 60^\circ = \frac{OP}{8}$$

   Поскольку $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, то:

   $$0{,}866 = \frac{OP}{8}$$

   Найдём длину проекции $OP$:

   $$OP = 8 \cdot 0{,}866 \approx 6{,}93 \text{ см}$$

Ответ:

• Длина перпендикуляра $OH$ равна $4$ см.
• Длина проекции наклонной на плоскость $OP$ составляет примерно $6{,}93$ см.