В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10. Точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8:5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть боковая сторона равна \( a \), основание — \( b \). Точка касания делит боковую сторону на части в отношении \( 8:5 \) от вершины.

Для вписанной окружности отрезки касательных из одной вершины равны. На боковой стороне получаются отрезки:

\[a - \frac{b}{2}\quad \text{и}\quad \frac{b}{2}\]

По условию:

\[\frac{a - \frac{b}{2}}{\frac{b}{2}}=\frac{8}{5}\]

Обозначим \( \frac{b}{2}=x \). Тогда:

\[a-x=\frac{8}{5}x\]

\[a=\frac{13}{5}x\]

Высота равнобедренного треугольника:

\[h=\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{\left(\frac{13}{5}x\right)^2-x^2}=\frac{12}{5}x\]

Площадь:

\[S=\frac{1}{2}bh=xh=x\cdot \frac{12}{5}x=\frac{12}{5}x^2\]

Полупериметр:

\[p=a+x=\frac{13}{5}x+x=\frac{18}{5}x\]

Радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{S}{p}\]

По условию \( r=10 \), значит:

\[10=\frac{\frac{12}{5}x^2}{\frac{18}{5}x}=\frac{2}{3}x\]

\[x=15\]

Тогда:

\[S=\frac{12}{5}\cdot 15^2=540\]

Ответ: \( 540 \).

0 0 Пожаловаться