Боковые рёбра правильной треугольной пирамиды составляют с основанием угол в 60 градусов. Найдите объём описанного около пирамиды конуса, если сторона основания пирамиды равна a.

Описанный около правильной треугольной пирамиды конус имеет ту же вершину, а его основание — окружность, описанную около основания пирамиды.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( a \). Радиус описанной около него окружности:

\[ R=\frac{a}{\sqrt{3}} \]

Боковое ребро образует с основанием угол \( 60^\circ \). В прямоугольном треугольнике:

\[ \tan 60^\circ=\frac{h}{R} \]

Значит,

\[ h=R\sqrt{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=a \]

Объём конуса:

\[ V=\frac{1}{3}\pi R^2h \]

Подставим:

\[ V=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{a^2}{3}\cdot a=\frac{\pi a^3}{9} \]

Ответ: \( \frac{\pi a^3}{9} \).

0 0 Пожаловаться