Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то он острый.

Пусть из точки \( A \), лежащей вне окружности, проведены две прямые, которые пересекают окружность в точках \( B \) и \( C \). Угол \( \angle BAC \) опирается на диаметр \( BC \).

Так как \( BC \) — диаметр окружности, а точка \( A \) лежит вне окружности, то расстояние от центра окружности \( O \) до точки \( A \) больше радиуса: \( OA > R \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). В нём \( OB=R \), а \( OA>R \), значит \( OA>OB \). Поэтому угол напротив стороны \( OA \) больше угла напротив стороны \( OB \):

\[ \angle ABO > \angle BAO. \]

Аналогично в треугольнике \( AOC \):

\[ \angle ACO > \angle CAO. \]

Так как точки \( B, O, C \) лежат на одной прямой, углы при \( B \) и \( C \) вместе дают угол треугольника \( ABC \). Получается, что сумма двух углов при основании больше угла при вершине \( A \). Значит:

\[ 2\angle A < 180^\circ, \]

откуда

\[ \angle A < 90^\circ. \]

Следовательно, угол острый.

0 0 Пожаловаться