Вычислите объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды со сторонами оснований 7 и 9 см, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов.

Основания — квадраты со сторонами 7 см и 9 см.

Площадь меньшего основания:

\[ S_1=7^2=49\ см^2 \]

Площадь большего основания:

\[ S_2=9^2=81\ см^2 \]

Найдём высоту. В правильной усечённой пирамиде проекция бокового ребра на основание равна расстоянию между соответствующими вершинами квадратов. Разность сторон:

\[ 9-7=2\ см \]

С каждой стороны отступ равен 1 см, значит проекция бокового ребра:

\[ d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ см \]

Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \( 30^\circ \), поэтому:

\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{\sqrt{2}} \]

\[ h=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\ см \]

Формула объёма усечённой пирамиды:

\[ V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}) \]

\[ V=\frac{\sqrt{6}}{9}(49+81+63)=\frac{193\sqrt{6}}{9}\ см^3 \]

Ответ: \( \frac{193\sqrt{6}}{9}\ см^3 \), примерно \( 52{,}5\ см^3 \).

0 0 Пожаловаться