В прямоугольной трапеции ABCD углы A и B прямые, а также BC = 9, AD = 25, CD = 20. Найдите периметр трапеции, длину меньшей диагонали и расстояние от точки A до прямой CD.

Периметр | Диагональ | ρ(A; CD)

Обозначим высоту трапеции \(AB = h\). Опустим перпендикуляр \(CH\) на \(AD\). Тогда \(AH = BC = 9\), \(HD = AD - AH = 25 - 9 = 16\). В прямоугольном треугольнике \(CHD\): \(CH = h\), \(HD = 16\), \(CD = 20\). По теореме Пифагора:
\[ h^2 + 16^2 = 20^2 \Rightarrow h^2 = 400 - 256 = 144 \Rightarrow h = 12. \]

Периметр: \(P = AB + BC + CD + AD = 12 + 9 + 20 + 25 = 66\).

Меньшая диагональ — \(AC\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(AB = 12\), \(BC = 9\), поэтому \(AC = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\). (Диагональ \(BD\) длиннее: \(\sqrt{25^2 + 12^2} = \sqrt{769} \approx 27{,}73\).)

Расстояние от точки \(A\) до прямой \(CD\). Уравнение прямой \(CD\): через точки \(C(9;12)\) и \(D(25;0)\). Угловой коэффициент \(k = \frac{0-12}{25-9} = -\frac{3}{4}\). Уравнение: \(y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 25)\) или \(3x + 4y - 75 = 0\). Расстояние от \(A(0;0)\) до этой прямой: \(\rho = \frac{|3\cdot0 + 4\cdot0 - 75|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{75}{5} = 15\).

Итак, периметр — 66, меньшая диагональ — 15, расстояние — 15.

0 0 Пожаловаться