Площадь параллелограмма ABCD равна 180. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ векторы $\overrightarrow{AB} = \vec b$, $\overrightarrow{AD} = \vec d$. Тогда площадь параллелограмма равна

Точка $E$ — середина $AB$, значит

Рассмотрим трапецию $DAEC$ в порядке обхода $D \to A \to E \to C$.

Зададим координатно:

• $A = 0$

• $D = \vec d$

• $E = \frac{\vec b}{2}$

• $C = \vec b + \vec d$

Площадь четырёхугольника через векторные произведения:

Считаем по частям:

• $D \times A = 0$

• $A \times E = 0$

• $E \times C = \frac{\vec b}{2} \times (\vec b + \vec d) = \frac{\vec b}{2}\times \vec d$ (так как $\vec b \times \vec b = 0$)

• $C \times D = (\vec b + \vec d)\times \vec d = \vec b \times \vec d$

Сумма: