Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если

DA=8
DB=8
DC=8

В данном случае у нас есть тетраэдр $DABC$ с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из вершины $D$: $DA = 8$, $DB = 8$ и $DC = 8$. Каждая из сторон, образованных парами из этих рёбер, является боковой гранью тетраэдра. Нам нужно найти сумму площадей этих трёх боковых граней.

Шаг 1: Определение формы боковых граней

Каждая боковая грань (например, $\triangle DAB$, $\triangle DBC$ и $\triangle DCA$) представляет собой прямоугольный треугольник, так как два из её рёбер перпендикулярны. Это упрощает вычисление площади каждой грани, поскольку для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения длин его катетов.

Шаг 2: Вычисление площади каждой боковой грани

1. Площадь треугольника $\triangle DAB$:

   • Катеты: $DA = 8$ и $DB = 8$.
   • Площадь: $$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$

2. Площадь треугольника $\triangle DBC$:

   • Катеты: $DB = 8$ и $DC = 8$.
   • Площадь: $$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$

3. Площадь треугольника $\triangle DCA$:

   • Катеты: $DC = 8$ и $DA = 8$.
   • Площадь: $$S_{DCA} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$

Шаг 3: Нахождение общей площади боковых граней

Теперь сложим площади всех трёх боковых граней:

Ответ

Общая площадь боковых граней тетраэдра $DABC$ равна $96$.