На гранях двугранного угла взяты две точки удаленные от ребра двугранного угла на 6 см и 10 см. Известно что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найдите расстояние от второй точки до противоположной грани двугранного угла

Для решения задачи введем обозначения. Пусть ребро двугранного угла — это прямая $L$, а грани — это две плоскости $P_1$ и $P_2$, которые пересекаются по прямой $L$ под некоторым углом $\alpha$. Пусть на гранях $P_1$ и $P_2$ взяты точки $A$ и $B$, такие, что расстояние от $A$ до $L$ равно 6 см, а от $B$ до $L$ — 10 см. Также известно, что одна из этих точек удалена от противоположной грани на 7,5 см. Требуется найти расстояние от второй точки до противоположной грани.

Шаг 1: Определение известной точки

Пусть $h_A$ — это расстояние от точки $A$ до грани $P_2$, а $h_B$ — расстояние от точки $B$ до грани $P_1$. Нам известно, что одна из этих точек удалена от противоположной грани на 7,5 см. Предположим, что это точка $A$, и, следовательно, $h_A = 7.5$ см.

Шаг 2: Использование тригонометрии

Поскольку $A$ и $B$ расположены на разных гранях двугранного угла, их расстояния до ребра $L$ перпендикулярны к прямой $L$, а расстояния до противоположной грани зависят от угла $\alpha$ двугранного угла.

Расстояния до противоположных граней можно выразить через расстояния до ребра $L$ и угол $\alpha$ с помощью тригонометрических функций. Если для точки $A$ это расстояние $h_A = 6 \cdot \tan(\alpha)$, то для точки $B$ расстояние до противоположной грани $h_B = 10 \cdot \tan(\alpha)$.

Шаг 3: Определение угла $\alpha$

Так как известно, что $h_A = 7.5$ см, можем записать:

Отсюда находим $\tan(\alpha)$:

Шаг 4: Нахождение $h_B$

Теперь найдём $h_B$, используя ту же тангенс:

Таким образом, расстояние от второй точки $B$ до противоположной грани $P_1$ равно 12.5 см.

Ответ:

Расстояние от второй точки до противоположной грани равно 12.5 см.