Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90° и площадь боковой поверхности конуса.

Решим задачу поэтапно.

1. Площадь осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, так как оно проходит через ось конуса. В данном случае угол при вершине осевого сечения равен $120^\circ$, а высота конуса (высота треугольника в осевом сечении) составляет 9 см.

Пусть $O$ — вершина конуса, $AB$ — основание осевого сечения (равнобедренного треугольника), а $OC$ — высота, опущенная из вершины $O$ на основание $AB$.

Поскольку $\angle AOB = 120^\circ$, мы можем разбить угол при вершине на два равных угла по $60^\circ$, то есть $\angle AOC = \angle BOC = 60^\circ$.

Из геометрии треугольников с углом $60^\circ$ и высотой $OC = 9$ см можем найти половину основания $AC$, так как $\tan(60^\circ) = \frac{AC}{OC}$.

Тогда длина всего основания $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 15.59 \approx 31.18 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь осевого сечения (площади треугольника $\triangle AOB$):

2. Площадь сечения, проходящего через две образующие под углом 90°

Когда сечение проходит через две образующие, угол между которыми составляет $90^\circ$, оно также является треугольником. Такое сечение перпендикулярно осевому сечению и имеет угол между образующими равный $90^\circ$, образуя прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет длина образующей.

Найдем длину образующей $l$ конуса по теореме Пифагора, так как она соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания:

Для этого сначала нужно найти радиус основания $R$ конуса. Используем $\tan(60^\circ) = \frac{R}{h}$:

Теперь подставим значения $R$ и $h$ в формулу для $l$:

Теперь площадь сечения, проходящего через две образующие под углом $90^\circ$ (прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R$):

3. Площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности $S_{боковой}$ конуса рассчитывается как:

Подставим значения $R \approx 15.59$ см и $l \approx 18.01$ см:

Ответ

1. Площадь сечения, проходящего через две образующие под углом $90^\circ$: $\approx 70.16 \text{ см}^2$.
2. Площадь боковой поверхности конуса: $\approx 883.29 \text{ см}^2$.