Угол при вершине осевого сечения конуса с высотой 1 м равен 120°. Чему равна площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 60°?

Всем заранее спасибо за помощь!

Для решения этой задачи начнем с анализа геометрии осевого сечения конуса и заданных параметров.

1. Параметры осевого сечения:

   • Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°, а высота конуса — 1 метр.
   • Осевое сечение — это сечение, проходящее через вершину конуса и его ось симметрии. В результате получается равнобедренный треугольник с вершиной в точке конуса.

2. Радиус основания и боковые стороны осевого сечения:

   • Из вершины конуса проведем перпендикуляр к основанию. Поскольку высота конуса 1 метр, основание этого осевого сечения будет равно радиусу $R$, а боковые стороны — длине образующих $l$.
   • В треугольнике, полученном в осевом сечении, угол при вершине равен 120°. В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения для определения радиуса и длины образующих.

3. Вычислим длину образующей $l$:

   • Поскольку треугольник равнобедренный, разделим его пополам, чтобы получить два прямоугольных треугольника с углами 60°, 30° и 90°.
   • В таком треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, если обозначить длину образующей как $l$, то радиус основания $R = l \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l$.
   • Так как высота конуса (катет, прилежащий к углу 60°) равна 1 м, можем написать уравнение: $$l \cos(60°) = 1 \Rightarrow l \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l = 2 \, \text{м}$$
   • Теперь находим радиус: $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \, \text{м}$.

4. Площадь сечения, проведенного через две образующие:

   • Площадь искомого сечения — это площадь равнобедренного треугольника с вершиной в центре основания конуса и двумя образующими, между которыми угол равен 60°.
   • Формула для площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними $\alpha$, имеет вид: $$S = \frac{1}{2} a b \sin(\alpha)$$
   • Здесь $a = b = l = 2$ м, а угол $\alpha = 60°$. Подставляем значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(60°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \, \text{м}^2$$

Ответ: Площадь сечения конуса, проведенного через две образующие с углом 60° между ними, равна примерно $1{,}73$ квадратных метра.