За 9 класс. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Один из самых наглядных способов доказательства — использовать четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\).

Представь квадрат со стороной \(a+b\). Внутри него размести четыре треугольника так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат. Катеты треугольников прилегают к сторонам большого квадрата.

Площадь большого квадрата: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

С другой стороны, эта же площадь складывается из площади внутреннего квадрата (со стороной \(c\)) и суммарной площади четырёх треугольников: \( c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab \).

Приравниваем: \( a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \).

Сокращаем \(2ab\) и получаем \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Это и значит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

0 0 Пожаловаться