В прямоугольном треугольнике KLM KL = КМ = 9 см. Две стороны квадрата KTDB лежат на катетах треугольника KLM, а вершина D принадлежит гипотенузе LM. Найди сторону квадрата.​

Для того чтобы решить задачу, давайте разберемся с геометрией данной фигуры.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник $KLM$, где $KL = KM = 9 \, \text{см}$, что делает этот треугольник равнобедренным, поскольку два катета равны. По теореме Пифагора можем найти гипотенузу $LM$:

Теперь перейдем к квадрату $KTDB$, у которого две стороны лежат на катетах треугольника, а вершина $D$ принадлежит гипотенузе $LM$.

Пусть длина стороны квадрата равна $x$. Так как квадрат находится внутри треугольника, его стороны $KT$ и $KB$ расположены соответственно на катетах $KL$ и $KM$. Это значит, что оставшаяся часть катетов, не занятая квадратом, имеет длину $9 - x$ на каждом катете.

Рассмотрим теперь отношение длин сторон и гипотенузы. Квадрат имеет вершину $D$, которая лежит на гипотенузе $LM$, и эта вершина разбивает гипотенузу на два отрезка, соответствующих проекциям оставшихся частей катетов (по аналогии с подобными треугольниками).

Так как треугольники $KLM$ и треугольник, образованный вершинами $K$, $D$, и точкой пересечения сторон квадрата с гипотенузой, подобны, то отношение между катетами треугольника и стороной квадрата должно быть одинаково для всех сторон.

Поэтому, применяя теорему о подобии треугольников, получаем соотношение для стороны квадрата:

Решим это уравнение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2} - 1$:

Таким образом, длина стороны квадрата равна $9(\sqrt{2} - 1)$ см.