В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в 30 градусов,а радиус окружности, описанной около него,равен R. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.(можно подробно)

В данной задаче требуется найти меньшую сторону прямоугольника, когда диагональ образует угол в 30 градусов с одной из сторон, а радиус описанной около прямоугольника окружности равен $R$.

Для решения используем несколько ключевых свойств прямоугольника и окружности, описанной около него.

1. Основные свойства прямоугольника и окружности, описанной вокруг него:

   • В любом прямоугольнике диагональ является диаметром окружности, описанной вокруг него. Это означает, что длина диагонали $d$ равна $2R$, где $R$ — радиус окружности.
   • Если стороны прямоугольника обозначить как $a$ и $b$, то по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

   Поскольку $d = 2R$, то:

   $$2R = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$4R^2 = a^2 + b^2.$$

2. Использование условия о градусах: Диагональ образует угол в $30^\circ$ с одной из сторон прямоугольника. Предположим, что угол между диагональю $d$ и стороной $a$ равен $30^\circ$. Тогда, по определению косинуса:

   $$\cos 30^\circ = \frac{a}{d}.$$

   Подставляем значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $d = 2R$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2R}.$$

   Умножим обе части на $2R$:

   $$a = \sqrt{3} R.$$

3. Нахождение стороны $b$: Подставим $a = \sqrt{3} R$ в уравнение $4R^2 = a^2 + b^2$:

   $$4R^2 = (\sqrt{3} R)^2 + b^2,$$ $$4R^2 = 3R^2 + b^2.$$

   Вычтем $3R^2$ из обеих частей:

   $$R^2 = b^2.$$

   Следовательно, $b = R$.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна $R$.