Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Докажите.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\), гипотенузой \(AB\) и катетом \(BC = \frac{1}{2} AB\). Нужно доказать, что \(\angle A = 30^\circ\).

На продолжении катета \(BC\) за точку \(C\) отложим отрезок \(CD = BC\). Тогда \(BD = 2BC = AB\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AC\) — общая, \(BC = CD\), \(\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ\). Следовательно, \(AB = AD\).

Получаем \(AB = AD = BD\), значит, треугольник \(ABD\) равносторонний, и \(\angle B = 60^\circ\).

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), поэтому \(\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Утверждение доказано.

0 0 Пожаловаться