Докажите свойство трапеции.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) (\(AD \parallel BC\)). Пусть \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Докажем, что средняя линия \(MN\) параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство (векторный способ):

Выразим вектор \(\overrightarrow{MN}\) двумя способами:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\)

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\)

Сложим эти равенства:

\(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN})\).

Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}\). Аналогично, \(N\) — середина \(CD\), поэтому \(\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} = \vec{0}\).

Получаем \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\).

Поскольку \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) коллинеарны (основания параллельны), их сумма также коллинеарна им, значит, \(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\).

Длина \(MN\) равна половине модуля суммы: \(|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}|\). Так как векторы сонаправлены (при стандартном расположении трапеции), модуль суммы равен сумме модулей: \(|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}| = AD + BC\). Следовательно, \(MN = \frac{AD + BC}{2}\).

Свойство доказано.

0 0 Пожаловаться