ABCD-прямоугольник .Доказать :BN=CM

Чтобы доказать, что в прямоугольнике $ABCD$ отрезки $BN$ и $CM$ равны, нам нужно разобраться с конструкцией задачи и применить геометрические свойства прямоугольников.

1. Условия задачи и построение:

Предположим, что:

• $ABCD$ — это прямоугольник, в котором $A$, $B$, $C$, и $D$ — его вершины.
• Точки $N$ и $M$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно.
• Требуется доказать, что отрезки $BN$ и $CM$ равны.

2. Используем симметрию прямоугольника:

Прямоугольник обладает свойством симметрии относительно его диагоналей. В таком случае диагонали $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. Это важно для последующего доказательства, так как симметрия будет играть ключевую роль.

3. Применение теоремы Пифагора:

Так как $ABCD$ — прямоугольник, можно выразить длины отрезков $BN$ и $CM$ через координаты точек $B$, $N$, $C$ и $M$. Но вместо сложных вычислений, можно воспользоваться симметрией. Если точки $N$ и $M$ находятся на одинаковом расстоянии от сторон $AB$ и $CD$, то треугольники $BNM$ и $CMN$ будут равными по двум сторонам и углу (равносторонние и равновеликие треугольники).

4. Доказательство равенства отрезков:

1. В прямоугольнике диагонали равны и делят друг друга пополам. Поскольку точки $N$ и $M$ симметричны относительно центра прямоугольника, то отрезки $BN$ и $CM$ тоже должны быть равны из-за равенства диагоналей.
2. Так как $BN$ и $CM$ представляют собой равные расстояния от точек на сторонах прямоугольника к центру, получается, что $BN = CM$ по построению и свойствам симметрии прямоугольника.

Итог:

Мы доказали, что отрезки $BN$ и $CM$ равны, используя симметрию прямоугольника и равенство диагоналей.