ABCD - трапеция. Дано: АО=ОД. Доказать: АВ=СD

Ваша задача - доказать, что в трапеции ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке О, и условием АО=ОД, стороны АВ и CD равны. Для доказательства этого утверждения можно использовать метод прямого доказательства, опираясь на свойства равнобедренных треугольников и свойства параллельных линий.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD: Так как AO = OD (по условию задачи) и OB = OC (так как это общая сторона двух треугольников), у нас есть две пары равных сторон.

2. Углы при основаниях треугольников: Углы AOB и COD равны, так как они вертикальные (образуются при пересечении двух прямых). Следовательно, ∠AOB = ∠COD.

3. Применение свойства равнобедренных треугольников: Треугольники AOB и COD равнобедренные, так как у них по две равные стороны (AO = OD и OB = OC). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA и ∠ODC = ∠OCD.

4. Рассмотрение углов ABD и BCD: Углы ABD и BCD являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Так как AB параллельна CD (по определению трапеции), углы ABD и BCD равны.

5. Использование свойства суммы углов в треугольнике: В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. Так как ∠ABD = ∠BCD, то ∠BAD = ∠BCD. Аналогично, для треугольника BCD, ∠BCD = ∠BAD.

6. Заключение: У нас есть два треугольника ABD и BCD, в которых две стороны и угол между ними равны (AB = CD, BD - общая, ∠ABD = ∠BCD). Согласно критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники ABD и BCD равны.

Таким образом, доказано, что в трапеции ABCD со сторонами AB и CD и диагоналями, пересекающимися в точке О, при условии AO = OD, стороны AB и CD равны.