Правильный треугольник вписан в круг. Найдите площадь меньшего сегмента, отсекаемого одной из сторон треугольника, если длина радиуса круга равна 18 см.

Нужно решение.

Правильный треугольник делит окружность на три равные дуги. Одна сторона треугольника стягивает центральный угол:

\[ \frac{360^\circ}{3}=120^\circ \]

Меньший сегмент — это часть круга между стороной треугольника и меньшей дугой. Его площадь равна площади сектора \(120^\circ\) минус площадь равнобедренного треугольника с двумя радиусами.

1. Площадь сектора

\[ S_{\text{сектора}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi R^2=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot18^2=108\pi \]

2. Площадь треугольника с двумя радиусами

Две стороны равны \(18\) см, угол между ними \(120^\circ\):

\[ S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot18\cdot\sin120^\circ \]

Так как \( \sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2} \), получаем:

\[ S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot324\cdot\frac{\sqrt3}{2}=81\sqrt3 \]

3. Площадь сегмента

\[ S=108\pi-81\sqrt3 \]

Ответ: \(108\pi-81\sqrt3\ \text{см}^2\).

0 0 Пожаловаться