Меньшая диагональ ромба 16√3 см, а острый угол равен 60 градусов. Найдите радиус вписанной окружности и площадь ромба.

В ромбе с острым углом \(60^\circ\) меньшая диагональ равна стороне ромба:

\[d_{меньш}=2a\sin30^\circ=a\]

Значит, сторона ромба:

\[a=16\sqrt{3}\]

Площадь ромба найдём по формуле:

\[S=a^2\sin60^\circ\]

\[S=(16\sqrt{3})^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=768\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=384\sqrt{3}\]

Радиус вписанной окружности можно найти из формулы для площади касательного четырёхугольника:

\[S=pr\]

где \(p\) — полупериметр. У ромба:

\[p=2a=32\sqrt{3}\]

Тогда:

\[r=\frac{S}{p}=\frac{384\sqrt{3}}{32\sqrt{3}}=12\]

Ответ: радиус вписанной окружности \(12\) см, площадь ромба \(384\sqrt{3}\) см\(^2\).

0 0 Пожаловаться