Помогите решить три задачи.

1) Найдите косинус угла α и тангенс угла α, если синус угла α = 2/3 и 0° < α < 90°.

2) Найдите синус и косинус угла α, если тангенс угла α равен 1/2.

3) Докажите, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то отношение синусов углов, противолежащих этим катетам, обратно отношению гипотенуз, а отношение тангенсов этих углов обратно отношению неравных катетов.

1) Дано: \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \), угол острый.

Используем основное тождество:

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

\[\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt5}{3}\]

\[\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2}{\sqrt5} = \frac{2\sqrt5}{5}\]

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt5}{3} \), \( \tg \alpha = \frac{2\sqrt5}{5} \).

2) Если \( \tg \alpha = \frac{1}{2} \), то в прямоугольном треугольнике можно взять противолежащий катет \(1\), прилежащий катет \(2\).

Гипотенуза:

\[\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\]

Тогда:

\[\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\]

\[\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\]

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt5}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt5}{5} \) для острого угла.

3) Пусть в двух прямоугольных треугольниках равные катеты равны \(a\). В первом треугольнике гипотенуза \(c_1\), другой катет \(b_1\), угол напротив катета \(a\) равен \(\alpha\). Во втором: гипотенуза \(c_2\), другой катет \(b_2\), угол напротив катета \(a\) равен \(\beta\).

Тогда:

\[\sin \alpha = \frac{a}{c_1}, \quad \sin \beta = \frac{a}{c_2}\]

Значит:

\[\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{a}{c_1}:\frac{a}{c_2}=\frac{c_2}{c_1}\]

Это обратно отношению гипотенуз \(c_1:c_2\).

Для тангенсов:

\[\tg \alpha = \frac{a}{b_1}, \quad \tg \beta = \frac{a}{b_2}\]

Тогда:

\[\frac{\tg \alpha}{\tg \beta}=\frac{a}{b_1}:\frac{a}{b_2}=\frac{b_2}{b_1}\]

Это обратно отношению неравных катетов \(b_1:b_2\). Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться