Дан треугольник ABC. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке D. Известно, что треугольник ADC — равнобедренный. Докажите, что треугольник ABC тоже равнобедренный.

Обозначим углы треугольника \(ABC\): \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\).

Так как \(AD\) и \(CD\) — биссектрисы, то в треугольнике \(ADC\):

\[\angle DAC=\frac{\alpha}{2},\qquad \angle ACD=\frac{\gamma}{2}\]

Треугольник \(ADC\) равнобедренный. Значит, в нём равны какие-то две стороны, а следовательно, равны и углы при основании.

Если равны углы при вершинах \(A\) и \(C\), то:

\[\frac{\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2}\]

Отсюда \(\alpha=\gamma\). В треугольнике равным углам противолежат равные стороны, значит:

\[AB=BC\]

Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.

Если же в равнобедренном треугольнике \(ADC\) равны стороны \(AD\) и \(CD\), то его углы при \(A\) и \(C\) также равны, и снова получаем \(\alpha=\gamma\). Поэтому вывод тот же: \(AB=BC\).

0 0 Пожаловаться