Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят её на 3 равные части.

Пусть диагональ \(BD\) выбрана как отрезок, а точка \(B\) имеет координату \(0\), точка \(D\) — координату \(1\).

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому для вершин \(A\) и \(C\) их середина совпадает с серединой \(BD\). Удобно ввести векторы: пусть \(A=\vec a\), \(B=\vec b\), \(C=\vec c\), \(D=\vec d\). Для параллелограмма верно:

\[ \vec a+\vec c=\vec b+\vec d \]

Точка пересечения медиан треугольника \(ABC\) — это его центр тяжести:

\[ \vec g_1=rac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} \]

Так как \( \vec a+\vec c=\vec b+\vec d \), получаем:

\[ \vec g_1=rac{2\vec b+\vec d}{3} \]

Значит, эта точка лежит на диагонали \(BD\) и находится на расстоянии \( rac{1}{3}BD \) от точки \(B\).

Для треугольника \(CDA\):

\[ \vec g_2=rac{\vec c+\vec d+\vec a}{3}=rac{\vec b+2\vec d}{3} \]

Эта точка тоже лежит на \(BD\) и находится на расстоянии \( rac{2}{3}BD \) от точки \(B\).

Значит, точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(CDA\) лежат на диагонали \(BD\) и делят её на три равные части.

0 0 Пожаловаться